Enoncé
Soit $f$ une fonction d'équation: $f(x)=ax^2+bx.$
- Montrer que si $(a>0)$ alors $f$ admet un minimum. Préciser en quel point elle l'atteint et donner sa valeur.
- Qu'en est-il si $(a<0)$ ? Dresser un tableau des signes à partir de la forme factorisée pour le cas $(a<0 $ et $ b>0)$. Tracer l'allure de la courbe.
- Reprendre la question sachant $(a>0 $ et $ b<0)$ puis $(a<0 $ et $ b<0)$.
Indications
- Utiliser les symétries d'une parabole. Ou alors faire directement avec la définition d'un minimum d'une fonction. Il faut préciser sur quel intervalle.
- Quelle est l'influence du coefficient $a$ sur la forme de la courbe? Particulièrement son signe. L'allure doit au moins tenir compte de l'aspect général de toute parabole, ainsi que des racines et du sommet.
- Question sans difficulté.
Solution
Question 1 - Existence et calcul du minimum.
Symétrie
Le signe de $a$ indique le sens des branches. Elles sont dirigées vers le haut. La fonction admet un minimum si l'on tient compte du fait qu'il est admis qu'une parabole admet un sommet. Dans notre cas particulier il existe deux racines, la symétrie de la figure permet d'en déduire la position du sommet et précisément du minimum lorsque $(a>0)$.
Rien n'empêche d'utiliser ses connaissances pour aboutir au résultat plus facilement, et cela suffit comme démonstration lorsqu'elles sont sensées être acquises au cours des leçons précédentes. Mais aussi nous pouvons chercher par ce chemin le résultat puis proposer une preuve plus rapidement.
La fonction s'exprime sous forme factorisée: \[ f(x) = a x \left( x+\frac{b}{a} \right) \] Ainsi les deux racines sont $0$ et $(-b/a)$. Le sommet est atteint pour leur milieu: \[ \frac{0-b/a}{2} = - \frac{b}{2a} \] C'est le signe de $a$ qui indique qu'il s'agit du minimum sur $\mathbb{R}$.
Minimum
On peut le montrer par le calcul, tout d'abord la valeur en ce minimum est: \[ f \left( -\frac{b}{2a} \right) = - \frac{b^2}{4a} \] Ensuite rappelons la définition d'un minimum: on dit que $f$ atteint un minimum sur $\mathbb{R}$ s'il existe une abscisse $s$ telle que: \[ \forall x \in \mathbb{R} \quad f(x) \geq f(s) \] Le minimum est le nombre $f(s)$ et le réel en lequel il est atteint est $s$. Il peut y avoir plusieurs réels qui atteignent ce minimum.
Soit $x$ un réel, formons la différence: $ \left( f(x)-f(s) \right) $ et montrons qu'elle est positive: \[ \begin{aligned} f(x) - f(s) & = (ax^2+bx)\, -\, \frac{-b^2}{4a} \\ & = \frac{1}{4a} \left( 4a(ax^2+bx)+b^2 \right) \end{aligned} \] Le numérateur est une somme qui est le développement d'une identité remarquable: \[ 4a(ax^2+bx)+b^2=(2ax)^2+2\times 2ax \times b + b^2 = (2ax+b)^2 \] Ce qui prouve que pour tout $x$ réel la différence $ \left( f(x)-f(s) \right) $ est positive. D'où le résultat.
Question 2 - Cas négatif.
Si $(a<0)$ alors $f$ atteint un maximum et l'abscisse de ce sommet ne change pas, seules les branches se renversent en comparaison de la forme précédente. Le calcul que l'on vient de mener peut servir à nouveau puisque rien ne change sauf que le dénominateur $4a$ devient négatif. Ainsi la différence $ \left( f(x)-f(s) \right) $ est un quotient: \[ f(x)-f(s) = \frac{1}{4a} \times (2ax+b)^2 \] dont le numérateur est positif et le dénominateur négatif.
Tableau des signes
Lorsque $(a<0)$ les branches sont dirigées vers le bas, et si $(b>0)$ alors on a une indication sur la position de la racine accompagnant celle qui est propre aux fonctions de la forme $(x \mapsto ax^2+bx)$, c'est-à-dire 0. Ici la racine $(-b/a)$ est strictement positive donc située à droite de zéro d'où le tableau: \[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \\ x & & 0 & & -b/a & \\ \hline \\ x & - & 0 & + & & + \\ \hline \\ ax+b & + & & + & 0 & - \\ \hline \\ f(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline \end{array} \]
Graphique
Quant à l'allure de la courbe, l'essentiel est de mettre en évidence la forme parabolique avec les branches vers le bas, la racine 0 et de positionner dans le bon ordre l'autre racine. Puisque $a$ est strictement négatif, les branches sont dirigées vers le bas. Ensuite il reste à connaître le signe de $(-b/a)$. Nous présentons ci-dessous les deux situations envisageables:
Question 3 - Influence du coefficient $b$
On reprend le même tableau que précédemment en étudiant: $f(x)=x(ax+b)$. Le facteur $x$ ne change pas, reste l'autre expression affine. Prenons d'abord le cas $(a>0$ et $b<0)$, en comparaison avec la question précédente les deux coefficients ont changé de signe, ce qui laisse invariant celui de la racine $(-b/a)$: \[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \\ x & & 0 & & -b/a & \\ \hline \\ x & - & 0 & + & & + \\ \hline \\ ax+b & - & & - & 0 & + \\ \hline \\ f(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{array} \] Nous pouvons aussi donner la variante $(a>0$ et $b>0)$ directement sur le graphique suivant:
Le dernier cas demandé $(a<0$ et $b<0)$ a été dessiné dans la question 2. Lorsque les deux coefficients ont même signe la racine $(-b/a)$ se retrouve être négative donc à gauche de zéro sur le tableau. Si $a$ et $b$ sont négatifs on retrouvera le même résultat que sur le premier tableau et sinon ce sera le deuxième.