Exercice 1.1 - Aires et équation du second degré

Solutions

Question 1 - Equation vérifiée par la largeur.

Le rectangle est caractérisé par la donnée de la longueur $L$ et de la largeur $\ell$. L'agriculteur, s'il choisit cette forme, est contraint de respecter la surface assignée qui est 6 $\mathrm{km}^2$ soit encore $ 6\cdot 10^{6} $ mètres carrés: $$ 6 \cdot 10^{6} = L \times \ell $$De plus, il a décidé de lier la longueur à la largeur par la relation affine: $$ L = \ell + 10 $$Les données sont exprimées en mètres là aussi. D'où l'équation que la largeur vérifie: $$ \ell \times (\ell +10) = 6 \cdot 10^{6} $$L'aire d'une figure est par nature le produit de deux quantités de type distance. Dans le cas de polygones, il est assez simple de former ce produit, pour un rectangle il s'agira de la longueur par la largeur. Si en plus l'une des deux quantités dépend de l'autre, alors on peut exprimer l'aire en fonction d'une seule quantité, et survient une équation liant la surface imposée (une constante) à un produit dont la seule variable contenue est l'une des deux quantités. Si en plus leur lien est affine, alors on obtient un produit qui se développe sous la forme: $ ax^2+bx $.

Question 2 - Deux solutions mathématiques au problème posé.

Pour montrer que $\alpha$ est solution, on pose un nombre intermédiaire $ m $, pour une présentation plus claire: $ m=\sqrt{6\cdot 10^{6}+25} $.
Le nombre $\alpha$ s'écrit en fonction de $m$ de la manière suivante: $ \alpha=m-5 $.
On calcule plus facilement l'expression $ \alpha \times (\alpha+10) $ en se servant de $ m $.
En effet, elle s'écrit aussi: $(m-5)(m+5)$.
On reconnaît une identité remarquable: $(m-5)(m+5)=m^2-25$.
Or le carré de $m$ est donné directement par sa définition: $m^2=6\cdot 10^{6}+25$.
On en déduit finalement que: $\alpha \times (\alpha+10)=6\cdot 10^{6}$.

De même, on a par définition: $\beta=-\sqrt{6\cdot 10^{6}+25}-5$.
On peut réutiliser le nombre $m$ avec la relation: $\beta=-m-5$.
Ainsi l'expression $\beta \times (\beta+10)$ s'écrit: $ (-m-5)(-m+5) $.
Ce qui donne encore une fois le résultat: $m^2-25$.

Deux solutions au problème viennent d'être mises en évidence par le calcul. Rien de ce qui précède prouve que ce sont les seules. Mais si l'agriculteur choisit l'une d'elles alors il résout son problème.

Question 3 - Le réel et les mathématiques.

Le réel $\beta$ n'a pas de signification réelle, c'est un nombre négatif alors que l'on cherche une largeur. Cette solution apparaît car la surface est le produit de deux nombres, s'ils sont tous deux négatifs alors leur produit sera positif. Le résultat peut avoir un sens mais les moyens utilisés n'en ont pas. On ne peut retenir cette configuration pour l'application concrète de délimitation d'un terrain.

Question 4 - Autres formes d'aires équivalentes au rectangle.

Si l'on choisit de former un disque, il n'existe qu'un seul paramètre qui puisse être modifié, c'est le rayon. Pour obtenir une surface de 6 millions de mètres carrés il faut un rayon $\rho$ vérifiant l'équation d'aire: $$ \pi \rho^2 = 6\cdot 10^{6} $$
D'où deux solutions opposées, dont une seule a un sens physique, par extraction de la racine carrée: $$\rho = \sqrt{\frac{6}{\pi}} 10^{3}$$
Le carré est aussi une figure entièrement déterminée par la donnée d'un seul paramètre, son côté.
Si on le note $x$ alors l'équation à vérifier est: $$ x^2=6\cdot 10^{6} $$
Deux solutions apparaissent et seule celle qui est positive a un sens: $$ x=\sqrt{6} \cdot 10^{3} $$
Soit un trapèze de grande base $B$ et de petite base $b$. La grande est le double de la petite: $ B=2b $.
De plus l'aire est donnée par: $$ \displaystyle \frac{1}{2} \times (B+b) \times h = 6 \cdot 10^6 $$
Sachant que $h$ désigne la hauteur, en combinant les deux équations posées, on trouve: $$ b \times h = 4 \cdot 10^6 $$
L'agriculteur n'a plus qu'à fixer l'un des paramètres $b$ ou $h$ pour définir entièrement son trapèze. De plus, même lorsque les paramètres du trapèze seront fixés, il pourra encore choisir la forme car il n'y a pas de contrainte sur la valeur des angles.

Graphiques de comparaison

Voici trois figures parmi les quatre qui ont été traitées, les proportions sont respectées, le carré ressemble quasiment au rectangle tellement $\ell$ et $L$ sont proches. Chacune d'elles renferme la même aire, il pourrait être intéressant d'aborder le problème de la clôture, sachant que pour une aire imposée l'idéal est de pouvoir faire des économies sur la quantité de matériel destiné à la mise en place d'une séparation. Ci-dessous on représente le cercle et le rectangle avec un quadrillage dont les cases représentent 500 mètres.

Les valeurs approximatives sont: $$ \ell \approx 2444 \, ; \quad L \approx 2454 \, ; \quad x \approx 2449 \, ; \quad \rho \approx 1382 $$

Pour le trapèze, nous avons choisi: $b=h=2000$. La grande base $B$ vaut le double de la petite, d'où: $B=4000$.

{C}

Rappel sur le calcul d'aire

Voici un rappel sur le calcul des aires, partons d'un plan donné sur lequel nous fixons une longueur unité. C'est-à-dire une longueur qu'on appelle la référence ou l'étalon, elle désigne la longueur 1. L'unité physique n'a pas d'importance dans l'exposé qui suit, les résultats sont les mêmes quelque soit l'unité, du moment que l'on exprime tout suivant une même mesure. Rien ne nous interdit de choisir alors le mètre comme unité physique, il s'agit d'ailleurs de l'unité internationale.

Une fois que la longueur unité est établie, nous définissons l'aire référence comme étant celle d'un carré de côté 1. Parce que les surfaces peuvent s'additionner, être soustraites, et qu'il en apparaît de plus grandes que d'autres, nous pensont que nous pouvons leur assigner une grandeur. C'est-à-dire un nombre résumant leur taille.  Le plan étant décomposé suivant deux dimensions, nous dessinons deux droites pour les représenter avec une propriété d'orthogonalité qui ne privilégie ainsi aucune direction particulière.

Reste à fixer une référence d'aire, sachant que nous disposons déjà d'une longueur unité. Celle-ci étant reportée sur les deux droites devenues graduées, nous choisissons la figure la plus simple à construire: un rectangle. Mais parce qu'il n'y a pas de raison de privilégier une dimension plus que l'autre dans le calcul, l'aire de référence, qui sera déterminée par un rectangle, aura même longueur et largeur. On obtient un carré. Pourquoi choisir son côté autre que celui de longueur 1? C'est ainsi que nous imposons l'aire de référence.

Reste que rien n'oblige à désigner cette aire par la grandeur réelle 1. Si ce n'est que puisqu'aucune valeur n'est définie encore et qu'il nous est donc possible d'en choisir une, autant fixer la référence comme étant aussi l'unité. En revanche, une fois celle-ci imposée, toutes les autres aires se mesurent de manière proportionnelle comme pour les longueurs en fonction de leur unité.

• Le carré: s'il est de côté un entier $p$ alors il suffit de subdiviser les côtés en segments de longueur 1. Le carré principal noté $\mathcal{C}$ est composé de petits carrés, dans le vocabulaire des ensembles on dit que $\mathcal{C}$ est la réunion des petits. L'aire de $\mathcal{C}$ est alors la somme des carrés constituants cette réunion, on revient aux bases de la multiplication: il y a $p$ rangées de carrés avec $p$ colonnes. D'où l'aire de $\mathcal{C}$ qui vaut $p^2$.
• Le rectangle: c'est le cas général du carré, s'il y a $\ell$ rangées pour $L$ colonnes, alors l'aire vaut: $\ell \cdot L$.
• Le triangle rectangle: il représente la moitié d'un rectangle en terme d'aire. Il suffit donc de calculer celle liée au rectangle qui le contient et qu iest parfaitement défini par les deux côté formant l'angle droit.

Nous ne pouvons calculer pour l'instant que l'aire de figures de type polygones dont les côtés possèdent des longueurs entières.