Exercice 1.13 - Relation coefficients racines

Solution

Question 1- Lien pour un polynôme de degré 4

Nous disposons d'une expression faisant intervenir les cinq coefficients $a_i$: $$f(x) = a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$$ La relation est vraie pour tout $x \in \mathbb{R}$. Nous savons que deux polynômes égaux le sont coefficient par coefficient. C'est-à-dire que si l'on dispose d'un polynôme: $$g(x) = b_4 x^4 + b_3 x^3 + b_2 x^2 + b_1 x + b_0$$ et que par une méthode nous ayons trouver l'égalité: $$\forall x \in \mathbb{R} \qquad f(x)=g(x)$$ alors on aura l'égalité pour les coefficients de même degré: $$\forall i \in \{1,2,3,4\} \quad a_i=b_i$$ Cela peut sembler intuitif mais n'est pas forcément immédiat à montrer. La stratégie qui se sert de ce résultat consiste à écrire $f(x)$ avec les racines si cela est possible. Puis en comparant les deux expressions on tisse un lien entre racines et coefficients.

Divisibilité

Un résultat fondamental sur les polynômes est le suivant: Si $\rho$ est une racine de $f$ alors le polynôme $(x-\rho)$ divise $f(x)$. A la manière des nombres cela revient à écrire le résultat suggéré en indication à la question 1. En voici la preuve:

Si $\rho$ est une racine de $f$ alors: $$f(x)= a_4 \rho^4 + a_3 \rho^3 + a_2 \rho^2 + a_1 \rho + a_0$$ On écrit alors sous sa forme développée la différence: $f(x)-f(\rho)$ en rassemblant les termes suivant leur coefficient $a_i$ les accompagnant: $$\begin{aligned} \; & a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \\ & - a_4 \rho^4 - a_3 \rho^3 - a_2 \rho^2 - a_1 \rho - a_0 \\ & = a_4 (x^4-\rho^4) + a_3 (x^3-\rho^3) + a_2 (x^2-\rho^2) + a_1 (x-\rho) \end{aligned}$$ Les quatre facteurs de la forme $(x^i-\rho^i)$ sont divisibles par $(x-\rho)$. En effet, pour le degré $(i=1)$ c'est immédiat, pour $(i=2)$ il suffit d'appliquer l'identité remarquable: $$x^2-\rho^2=(x-\rho)(x+\rho)$$ De même pour le degré 4 qui n'est qu'un second degré (voir $x^4$ comme le carré de $x^2$): $$x^4-\rho^4=(x^2-\rho^2)(x^2+\rho^2)$$ Pour le troisième degré, la formule est aussi une identité remarquable, moins connue mais indispensable et simple à retrouver: $$x^3-\rho^3=(x-\rho)(x^2+x\rho+\rho^2)$$ on dispose d'une formule générale, pour tout degré $n$: $$a^n-b^n =(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\ldots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$$ L'exemple présenté considère $n$ assez grand, cela pour montrer les modifications dans les degrés. Le membre de droite est un produit dont le second facteur est une somme. Chaque terme est de la forme $(a^pb^q)$ où les entiers $p$ et $q$ ont pour somme $(n-1)$. De plus on les a rangé de façon à voir que toutes les possibilités sont présentes. En partant de $(p=n-1)$ et $(q=0)$ on retire une unité à $p$ pour la donner à $q$ et ce jusqu'à ce que l'un soit nul et l'autre égal à $(n-1)$. Ceci est la manière de le retenir, pour le prouver il suffit de développer le produit $$(a-b)(a^{n-1}+\ldots+b^{n-1}$$ en distribuant suivant $a$ et suivant $b$, on verra que tous les termes se téléscopent sauf deux nombres, le premier obtenu dans l'opération et le dernier: $$a\times a^{n-1} + \ldots + b \times b^{n-1}$$ Le mieux pour s'en convaincre et s'initier à cette famille d'identité remarquable est d'appliquer la formule à des exemples.

Factorisation

On vient de montrer que si $\rho_1$ est une racine de $f(x)$ alors ce polynôme s'écrit: $$f(x)=(x-\rho_1) g(x)$$ où $g(x)$ est un polynôme. On peut appliquer cette relation à tout réel, en particulier à $\rho_2$: $$f(\rho_2)=(\rho_2-\rho_1) g(\rho_2)$$ On sait que $f(\rho_2)$ est nul par hypothèse et comme les racines sont distinctes on apprend que $\rho_2$ est aussi racine de $g$. On applique à $g(x)$ le résultat trouvé pour $f(x)$: il est divisible par $(x-\rho_2)$. Puis de même avec les deux autres racines. Au final: $$f(x)=(x-\rho_1)(x-\rho_2)(x-\rho_3)(x-\rho_4)\times h(x)$$ La fonction $h$ est un polynôme, or le degré de $f$ est 4 et de même pour le produit des $(x-\rho_i)$ donc $h$ est constante. En développant pour trouver le terme de degré 4 à droite, il vient que: $$a_4 x^4 = x^4 \times h(x)$$ On en déduit que $h$ est la fonction constante égale à $a_4$. D'où la formule: $$f(x) = a_4(x-\rho_1)(x-\rho_2)(x-\rho_3)(x-\rho_4)$$

Dévelopement et identification

Reste à développer la formule trouvée. Plutôt que de mener un calcul laborieux, observons que le résultat final sera: $$f(x) = [\ldots] x^4+[\ldots] x^3+[\ldots] x^2+[\ldots] x+[\ldots]$$ Il y a cinq coefficients à trouver. Commençons par une petite simplification et calculons $f(x)/a_4$ pour éviter de garder $a_4$ dans les calculs. Reste quatre facteurs, de la même forme, soit une différence entre la variable $x$ et une racine de $f$:

• Pour obtenir les termes de degré 4 il faut multiplier les quatre occurences de la variable $x$. Le coefficient de degré 4 vaut 1.
• Pour le degré 3, on doit multiplier trois occurences de la variable et prendre la racine dans le facteur encore non exploité. Il y a quatre façons de faire: $$\begin{array}{cccc}  -\rho_1 &\, x &\, x &\, x \\  x &\, -\rho_2 &\, x &\, x \\  x &\, x &\, -\rho_3 &\, x \\ x &\, x &\, x &\, -\rho_4 \end{array}$$ Le coefficient de degré 3 vaut: $-(\rho_1+\rho_2+\rho_3+\rho_4)$
• Pour le degré 2, on choisit deux occurrences de la variable que l'on complète par deux racines. Il y a autant de termes possibles que de choix de couples à former parmi les quatre racines. Soit 6 termes formant la somme: $$\rho_1\rho_2+\rho_1\rho_3+\rho_1\rho_4+\rho_2\rho_3+\rho_2\rho_4+\rho_3\rho_4$$
• Pour le degré 1, on ne prend qu'une occurrence de la variable, reste à choisir 3 racines. On commence par négliger la dernière, puis la troisième, puis la seconde et enfin la première. Il y a quatre combinaisons à former. Le coefficient de degré 1 vaut: $$-(\rho_1\rho_2\rho_3+\rho_1\rho_2\rho_4+\rho_1\rho_3\rho_4+\rho_2\rho_3\rho_4)$$
• La constante de déduit en ne prenant que les racines: $$\rho_1\rho_2\rho_3\rho_4$$

Chacun des coefficients ci-dessus correspond à $a_i/a_4$ pour le degré $i$ associé. Il n'y a donc pas de lien direct entre $a_4$ et les racines, sinon $a_3/a_4$ correspond à l'opposé de la somme de toutes les racines. Le rapport $a_2/a_4$ vaut la somme de tous les doubles produits que l'on peut former avec les racines. Puis le rapport $a_1/a_4$ est l'opposé de la somme de tous les triples produits. Et enfin $a_0/a_4$ est le produit de toutes les racines.

Question 2 - Cas particuliers

Il suffit d'écrire toutes les racines en leur donnant le même nom $\rho$. On obtient: $$\left\{ \begin{array}{rcr} a_3 & = &-4 \rho a_4 \\ a_2 & = & 6\rho^2 a_4 \\ a_1 & = & -4 \rho^3 a_4 \\ a_0 & = & \rho^4 \end{array} \right.$$ Nous exploitons le calcul précédent, sinon on reconnaît la forme d'un binôme: $$f(x)=a_4(x-\rho)^4$$ et on applique la formule en utilisant les coefficients binomiaux.

Si $(\rho_1\rho_3=\rho_2\rho_4)$ alors il existe une symétrie entre les coefficients: $$a_0= (\rho_1\rho_3)^2 a_4$$ De même: $$a_1/a_4= -\rho_1\rho_2\rho_3-\rho_1^2\rho_3-\rho_1\rho_3\rho_4-\rho_1\rho_3^2$$ On trouve: $$a_1=\rho_1\rho_3 a_3$$ Il n'y a pas de résultat particulier pour $a_2$, on peut au mieux écrire: $$a_2/a_4 = 2\rho_1\rho_3+(\rho_1+\rho_3)(\rho_2+\rho_4)$$

Question 3 - Les 4 racines sont des entiers consécutifs

On suppose que $\rho_1=\rho$. Puis que: $$\rho_4=\rho_3+1=\rho_2+2=\rho_1+3$$ On n'a rien de particulier à affirmer sur $a_4$. Pour $a_3$ on trouve: $$a_3/a_4=-(\rho+\rho+1+\rho+2+\rho+3)=-2(2\rho+3)$$ Puis: $$\begin{aligned} a_2/a_4 & = \rho(\rho+1) + \rho(\rho+2) + \rho(\rho+3) \\ & + (\rho+1)(\rho+2) + (\rho+1)(\rho+3) \\ & + (\rho+2)(\rho+3) \end{aligned}$$ En développant on trouve: $$a_2/a_4 = 6 \rho^2+18\rho+11$$ Puis pour les calculs suivants il est utile d'exploiter ceux déjà effectués: $$\begin{aligned} -a_1/a_4 = & \rho(\rho+1)(\rho+2) \\ & + \rho(\rho+1)(\rho+3) \\ & + \rho(\rho+2)(\rho+3) \\ & + (\rho+1)(\rho+2)(\rho+3) \end{aligned}$$ On trouve: $$-a_1/a_4= 4\rho^3+18\rho^2+22\rho+6$$ Quant au dernier: $$a_0/a_4= \rho(\rho+1)(\rho+2)(\rho+3)=\rho^4+6\rho^3+11\rho^2+6\rho$$

Question 4 - Signe des coefficients

Le fait que $a_4$ soit égal à 1 n'a pas d'importance, seul son signe s'avère intéressant pour la question. Puisque: $$a_4>0 \qquad \forall i \quad \rho_i>0$$ on a le résultat immédiat: $$a_0 > 0 \quad a_1 < 0 \quad a_2 > 0 \quad a_3 < 0$$

Question 5 - Polynôme du degré 5

Le raisonnement par combinatoire s'avère encore plus efficace ici pour éviter de longs calculs. On veut développer: $$f(x)/a_5 = (x-\rho_1)(x-\rho_2)(x-\rho_3)(x-\rho_4)(x-\rho_5)$$ Le seul terme de degré 5 sera donné par la combinaison: $$x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$$ Puis le degré 4 sera composé de 4 occurences de $x$ et d'une racine, il y a 5 combinaisons, au final cela donne l'opposé de la somme des racines multipliant $x^4$: $$-\rho_1-\ldots-rho_5$$ Puis les doubles produits accompagnent $x^3$: $$\rho_1\rho_2+\ldots+\rho_4\rho_5$$ Il y en a $\binom{5}{2}$ pour utiliser les coefficients binomiaux, soit le nombre de couples dans un ensemble à 5 éléments: 10. Puis l'opposé des triples produits pour le degré 2, et il y en a autant que de triplets possibles dans un ensemble à 5 éléments, or chaque fois que l'on constitue un triplet, ce qui reste est un couple. Il y a autant de couples différents que de triplets, d'où les 10 possibilités là aussi: $$-\rho_1\rho_2\rho_3-\ldots-\rho_3\rho_4\rho_5$$ Le degré 1 est constitué des quadruples produits, il y en a autant que de singletons dans un ensemble à 5 éléments, là encore c'est une symétrie dans ce calcul venant de la complémentarité des groupes de 4 éléments avec ceux à 1 élément. Soit 5 possibilités, une pour chaque racine négligée: $$\rho_1\rho_2\rho_3\rho_4+\ldots+\rho_2\rho_3\rho_4\rho_5$$ Enfin le terme constant égal au produit des cinq nombres $(-\rho_i)$ d'où le résultat: $$-\rho_1\rho_2\rho_3\rho_4\rho_5$$