Enoncé
Résoudre $\mathcal{E}$ en cherchant la forme canonique:
- $x^2+2x-3$
- $x^2-x+1$
- $x^2+18x+3$
Indications
Appliquer directement la méthode proposée dans le cours. D'abord en posant le binôme incomplet puis en utilisant les règles algébriques habituelles pour résoudre une équation. Nous avons déjà exposé la méthode de manière détaillée dans l'exercice 1.6. Nous reproduisons ici la démarche.
Solution
Question 1
Forme canonique:
\[ \begin{align} x^2+2x-3 & \; = \; (x^2+2x+1) -1 -3 \\ & \; = \; (x+1)^2-4 \end{align} \]
Résolution:
\[ \begin{align} (x+1)^2-4 = 0 & \iff (x+1)^2 = 4 \\ & \iff x+1 = \pm 2 \\ & \iff x \in \{ -3\, ; 1 \} \end{align} \]
Graphique:
Pour obtenir la courbe représentative de $f$ il suffit de translater la parabole liée à $(x \mapsto x^2)$ de $-1$ à l'horizontale, c'est-à-dire d'une longueur $1$ vers la gauche, et de $-4$ à la verticale, c'est-à-dire d'une longueur $4$ vers le bas. Ceci étant expliqué dans l'exercice 1.6 et pour résumer l'ordre de transformation: \[ x \mapsto x+1 \mapsto (x+1)^2 \mapsto (x+1)^2 -4 \] La première opération est la translation horizontale, c'est un changement de variable: $X = x+1$. La deuxième est le calcul du carré, soit la parabole de base $(X \mapsto X^2)$ mais appliquée à la nouvelle variable. Cela ne change rien à la forme de la courbe, seule sa position est modifiée. Enfin on termine par une translation. Si nous notons $Y=(x+1)^2$ alors la dernière transformation se résume par: $Y \mapsto Y-4$. Chaque point de la courbe trouvée à l'étape $2$ perd ainsi $4$ à son ordonnée.
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Question 2
Forme canonique:
\[ \begin{align} x^2-x+1 & \; = \; \left( x^2-2\times \frac{1}{2} x+ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right) - \left( \frac{1}{2} \right)^2 +1 \\ & \; = \; \left( x-\frac{1}{2} \right) ^2+\frac{3}{4} \end{align} \]
Résolution:
\[ \left( x-\frac{1}{2} \right) ^2+\frac{3}{4} = 0 \iff \left( x-\frac{1}{2} \right) ^2 = -\frac{3}{4} \]
Nous l'avons déjà vu dans l'exercice 1.6. La forme $(x+B)^2+M$ n'a pas de racine si $M$ est strictement positif. Pour en revenir au graphique, il suffit de voir que $0$ est la seule racine à la deuxième étape dans la transformation, si la translation verticale se fait suivant un nombre $(M>0)$ alors cette racine est transportée vers le haut et il n'y a plus d'intersection avec l'axe des abscisses.
Graphique:
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Question 3
Forme canonique:
\[ \begin{align} x^2+18x+3 & = x^2 +2\times 9x+ (81-81) +3 \\ & = (x+9)^2 -78 \end{align} \]
Résolution:
\[ \begin{align} (x+9)^2-78 = 0 & \iff x+9 = \pm \sqrt{78} \\ & \iff x = -9 \pm \sqrt{78} \end{align} \]