Livre

Enoncé

Etudier la monotonie de chacune de ces suites:

  1. un+1=2unu0R
     
  2. un+1=u2nu0R
     
  3. un=n31nN
     
  4. un=vn1vn0

Indications

Le résultat n'est pas le même suivant la valeur de u0 pour les deux premières questions. On utilise la propriété 3.2 pour mener l'étude simplement. La réponse à la quatrième dépend de la monotonie de v. Il faut utiliser un argument sur la fonction racine carrée.

Solution

Question 1 - Récurrence linéaire

Pour se faire une idée de la progression d'une suite, rien de tel que le calcul des premiers termes: u1=2u0u2=4u0u3=8u0u4=16u0 Un raisonnement par descente nous donne: un=(2)nu0 Tous les termes de la suite dépendent directement de u0. Etant la forme de l'expression (un produit) il est bon de distinguer l'étude suivant la nullité et le signe de ce premier terme.

Si (u0=0) alors tous les termes de la suite sont nuls et u est qualifiée de constante. Si (u0>0) alors le signe de un dépend de celui de la puissance de 2. En fait, il en est de même dès que u0 est non nul, il n'est pas utile de distinguer les signes. La suite n'a pas de monotonie, son signe est alterné. Il n'est donc pas utile de comparer un+1 à un.

On parle de récurrence car le calcul de un+1 s'exprime en fonction de la seule variable un et elle est linéaire car: un+1=f(un) où la fonction f est linéaire: f(x)=2x.

Question 2 - Récurrence quadratique

Dans ce cas la fonction f est quadratique: f(x)=x2. Les premiers termes s'expriment ainsi: u1=u20u2=u40u3=u80u4=u160 Tous les termes sont des puissances du premier. Plus précisément on a: un=u2n0 Encore une fois, il s'agit de produits, on vérifie les cas de nullité puis suivant le signe.

Si u0 alors tous les termes sont nuls. La suite u est constante.

Si (u0>0) alors (un>0) pour tout n. Mais cela n'indique rien sur la monotonie si ce n'est qu'il peut y en avoir une. Pour tout n on compare un+1 et un, c'est-à-dire un nombre et son carré. Or le chapitre 2 nous apprend qu'il y a deux cas stricts:

  1. un>1. Dans ce cas le carré est strictement plus grand que le nombre. Alors: un+1>un.
  2. 0<un<1. C'est la situation inverse: un+1<un.

Seulement le résultat dépend de la position de un par rapport à 1. Rien ne dit que pour tout n nous aurons cette configuration. En effet, pour conclure sur une monotonie il faut donner un résultat pour tout nN ou au moins à partir d'un certain rang. Pour lever la difficulté, nous faisons remarquer le résultat suivant: u0>1pup0>1 Si le premier terme est au dessus de 1 alors tous les autres aussi. De même si u0 est compris entre 0 et 1 alors tous les autres le seront. Finalement nous avons pour le cas (u0>0) trois possibilités: ou bien (u0>1) et alors la suite est strictement croissante. Ou bien (0<u0<1) et alors elle est strictement décroissante. Reste la situation (u0=1)u est constante égale à 1.

Si (u0<0) alors l'astuce pour s'éviter le moindre calcul consiste à écrire: u1=u20. Et voir que tous les termes de la suite u s'expriment en fonction de u1 qui est strictement positif: un=u2n11 De plus u1 est strictement positif et on a les trois mêmes possibilités que précédemment que l'on rattache à u0 de la manière suivante:

  1. Si (u0<1) alors u devient strictement croissante à partir du rang 1.
  2. Si (u0=1) alors u est stationnaire à partir du rang 1.
  3. Si (1<u0<0) alors u devient strictement décroissante à partir du rang 1.

Question 3 - Formule explicite

Ici chaque terme dépend directement de son indice, u est la fonction cubique restreinte aux seuls entiers naturels. Nous savons que la fonction (xx3) est strictement croissante sur R. Il en est de même pour toute restriction du moment que les termes sont pris dans l'ordre. Il n'est pas utile de former un calcul mais pour information, l'écart grandit à la vitesse quadratique: un+1un=3n2+3n+1

Question 4 - Suite dépendant d'une autre suite.

Tout d'abord, rappelons que l'objectif est l'étude de la monotonie de u et rien d'autre. Pour simplifier, nous voyons que retirer 1 à chaque terme ne change pas une monotonie. Ainsi on peut se contenter d'étudier la suite de terme général vn. De plus la fonction racine carrée est définie sur tout R+ et tous les termes de v sont supposés positifs, ce qui implique la bonne définition de u. Ceci étant dit, la fonction racine carrée a la particularité d'être strictement croissante. Nous avons vu au chapitre 2 que composer avec une telle fonction conserve entièrement la monotonie de la première. Ainsi étudier u revient à étudier v. Elles ont même monotonie.